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La teoría de los sistemas dinámicos, una herramienta para analizar el clima, las corrientes oceánicas o una epidemia

  • Una investigación liderada por una física argentina vincula una teoría de los procesos dinámicos a la solución de problemas en la naturaleza y hasta la salud.

  • La dinámica de un sistema cambia significativamente cuando se altera la topología: un «templex» permite reconstruir y calcular la topología de ese sistema.

  • El análisis topológico de datos está casi tan de moda como la inteligencia artificial y el aprendizaje automático, sostienen los investigadores entrevistados.

Un importante logro científico fue publicado en la revista interdisciplinaria Chaos. Se trata del hallazgo de los constituyentes fundamentales de los procesos dinámicos, de modo que toda evolución en el tiempo pueda reconstruirse a partir de ellos, combinándolos. El resultado alcanzado es abstracto, pero tiene un gran potencial de aplicación al estudio de la evolución en el tiempo de cualquier sistema: el clima terrestre, las corrientes oceánicas, pero también una epidemia, o una reacción química. La teoría de sistemas dinámicos se aplica transversalmente a todas las áreas en las que se dispone de series de tiempo medidas u observadas con relativamente buena resolución.

El trabajo está basado en un desarrollo previo, que también fue elegido como artículo destacado de la revista Chaos en 2022, y que introdujo la definición de un nuevo objeto matemático denominado templex.¿Cómo se construye un templex? A partir de observaciones y mediciones de variables como la presión sonora de una voz o la posición de una boya derivante en el océano. Calcular las propiedades del templex equivale a descubrir el orden detrás del desorden aparente en el sistema estudiado. Conociendo el templex es posible caracterizar una dinámica en términos de un puñado de propiedades y clasificar los procesos dinámicos en distintos tipos o clases. La dinámica de un sistema cambia significativamente cuando se altera la topología, y el templex permite reconstruir y calcular la topología de una dinámica para detectar si esas propiedades topológicas se mantienen y, si no, determinar cómo cambian.

El equipo franco-argentino que alcanzó este objetivo está liderado por Denisse Sciamarella, Doctora en Física por la UBA e investigadora del Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) y directora adjunta del Instituto Franco-Argentino de Estudios sobre el Clima y sus Impactos (IFAECI). Es primera autora de este trabajo Caterina Mosto, Licenciada en Ciencias de la Atmósfera de la UBA y becaria doctoral del CONICET. Su tesis de doctorado busca aplicar conceptos de topología del caos a Ciencias de la Tierra. Son coautores Gisela D. Charó, Licenciada en Matemáticas, Doctora en Ingeniería por la UBA, actualmente realizando un posdoctorado en el LSCE (Laboratoire des Sciences du Climat et de l’Environnement), y Christophe Letellier, profesor de la Universidad de Rouen e investigador del CORIA (Complexe de Recherche Interprofessionnel en Aérothermochimie).

Como escribió León Tolstoi, en Anna Karenina, «todas las familias felices se parecen unas a otras, pero cada familia infeliz lo es a su manera». Los estudiosos de la teoría del caos suelen parafrasear al escritor ruso, comparando la no linealidad con la infelicidad: todos los sistemas lineales se parecen, pero cada sistema no lineal lo es a su manera. El equipo investigador explica de qué se trata este notable avance en la comprensión de la dinámica no lineal.

–Para comenzar, quería preguntarles: ¿Qué es un sistema no lineal?

–Los sistemas no lineales son ubicuos en la naturaleza, pero la matemática ha demorado en desarrollar teorías sobre la no linealidad que permitan tratar estos problemas sin hacer aproximaciones lineales. Estas aproximaciones permiten entender el comportamiento de un sistema cerca de los puntos de equilibrio, pero no capturan toda la complejidad. Buscar reglas universales para estos sistemas requiere apelar a una rama de la matemática que también es relativamente “nueva”: la topología computacional permite por primera vez abordar estos problemas algorítmicamente y comenzar a comprender cuál es la manera adecuada de describir las formas diversas de la complejidad. ¿Podemos clasificar las distintas maneras de comportarse que tienen los sistemas dinámicos? ¿Es posible asociar un tipo de dinámica a distintas “partes” que se combinan de un modo particular para producirla, del mismo modo que los constituyentes fundamentales de la materia se combinan para producir distintos elementos químicos con distintas propiedades? ¿Puede entenderse todo cambio rotundo en la historia de un sistema dinámico como una revolución de naturaleza topológica? Son todas preguntas que nos hacemos.

–¿Qué diferencia hay entre la topología y la geometría en matemática?

–La fuerza y la novedad de la topología dentro de la matemática radica en olvidar las distancias. Como las distancias no interesan, vale deformar. Dos objetos geométricamente muy distintos serán el mismo desde el punto de vista de la topología, si uno puede deformarse en el otro, sin introducir cortes ni usar pegamento. Curiosamente, un sistema cuya variabilidad en el tiempo es desordenada e irregular, tiene un orden subyacente si su topología no cambia. Para detener bruscamente un tipo de comportamiento o transformarlo en otro radicalmente distinto, el demiurgo debe convertirse en un sastre con tijeras e hilo de coser.

–Ustedes trabajaron con la teoría del caos, ¿en qué consiste?

–El “caos” de la teoría de sistemas dinámicos es un desorden aparente que tiene un orden oculto cifrado en su topología. La teoría del caos busca, desde hace décadas, formalizar ese orden escondido a través de herramientas matemáticas que se encuentran en los libros de topología. Una de esas herramientas es el complejo celular, propuesto por J. H. C. Whitehead en 1950. Un complejo celular está compuesto por celdas de distintas dimensiones (puntos, segmentos, polígonos, poliedros…). Sin importar el número, el tamaño o la distribución de las celdas, el complejo celular actúa como un andamio que permite calcular la topología como se resuelve un problema de álgebra. Sin embargo, al complejo celular «le falta algo» muy importante que buscan los especialistas en dinámica.

¿Cuáles son las distintas formas de comportarse de los sistemas dinámicos? ¿Y qué implican esas diferencias?

–Cuando un sistema es lineal, existe un único modo de circular por la estructura topológica que lo describe. Cuando el sistema es no lineal, en cambio, aparece la posibilidad de recorridos alternativos dentro de la estructura. Y por este motivo, cada sistema no lineal lo es “a su manera”. Es preciso definir caminos sobre las celdas del complejo celular, que indiquen por qué partes del complejo es lícito circular. Desde ya, no es posible tomar un camino a contramano. El objeto matemático que permite tener en cuenta esta señalización del tránsito en el complejo fue inventado por nuestro equipo en 2022. Mezcla de objetos matemáticos preexistentes, el templex es un complejo de Whitehead, con un set de ‘reglas de tránsito’ escritas en un grafo que conecta (o no), algunas celdas con otras.

Ahora bien, ¿existe dentro del templex algo así como los constituyentes fundamentales de toda dinámica? Del mismo modo que las propiedades químicas de la materia son el resultado de la existencia de un cierto número de protones, neutrones y electrones dentro de un átomo, es posible imaginar que las partes de un templex se unen entre sí para dar lugar a distintos tipos de procesos.

Esta es la pregunta que responde el artículo que ocupa la primera plana de Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, la revista más prestigiosa en el campo de la ciencia no lineal. Reconocida internacionalmente por su alta calidad académica, publica trabajos sobre sistemas complejos en diversos campos, desde la física y la biología hasta la economía y la ingeniería.

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–Respecto del templex, ¿podrían dar ejemplos de dónde los encontramos?

–Pongamos por caso el ritmo cardíaco, las erupciones volcánicas o los ciclos económicos. Todos estos sistemas alternan entre períodos lentos de acumulación de energía y descargas rápidas: el corazón acumula energía y se relaja antes de un latido fuerte; la presión en un volcán se acumula lentamente hasta liberar energía de forma explosiva; la economía puede crecer lentamente y luego caer abruptamente en una recesión. Todos estos sistemas pueden tener el mismo tipo de templex. Se trata de templex con las mismas propiedades topológicas.

–¿Cómo se aborda el estudio de la composición de un templex?

–Para descubrir las partículas elementales, los físicos someten la materia a bombardeos de alta energía, descomponiéndola en fragmentos más pequeños. Para descomponer un templex, en cambio, no podemos bombardearlo pero podemos estudiar qué reglas permiten aumentar o reducir la complejidad de un proceso representado por un templex, tratando de inferir cuál es su composición. Otto E. Rössler, hoy octogenario, anticipó en 1972 que toda dinámica podría explicarse en términos de unidades oscilantes y conmutantes, sin poder demostrarlo. Las unidades oscilantes pueden existir por sí solas, mientras que las conmutantes no, pero estas últimas son el ingrediente ineludible en una dinámica caótica.

El trabajo recientemente publicado demuestra que estos dos tipos de unidades pueden calcularse aplicando un juego de reglas matemáticas que primero reducen al mínimo el número de celdas del templex, para luego desmontarlo. En homenaje al vaticinio del precursor, estas unidades se llaman O y S (oscillating and switching units, en inglés). Podrían también denominarse oscilones y conmutones, si se mantiene la analogía con las partículas elementales de la materia. Combinando las unidades O y S de distintas maneras, es posible explicar todas las dinámicas posibles, sean regulares o caóticas, y discriminar distintos niveles de complejidad, es decir, distintos tipos de caos.

–¿Qué nos puede informar un templex en relación a fenómenos naturales?

–Esta formalización puede usarse para responder una de las preguntas vinculadas más apremiantres relativas a la dinámica del planeta frente al calentamiento global. ¿Se detendrá la Circulación de Vuelco Meridional del Atlántico (AMOC, por sus siglas en inglés)? El templex permite identificar qué señales observables pueden indicar que hay riesgo de que la AMOC pierda estabilidad y entre en una fase caótica que podría llevarnos a un nuevo período glacial, a una era del hielo. En términos de las unidades fundamentales, es posible mostrar que la “fórmula” de oscilones y conmutones que describe la dinámica del AMOC se altera agregando conmutones cuando el sistema se ve sometido a un exceso de ingreso de agua fría debido al derretimiento de los polos.

Por su valor fundamental en la identificación de patrones mediante herramientas computacionales cada vez más eficientes, la topología —o, más precisamente, el análisis topológico de datos (TDA, por sus siglas en inglés)— está casi tan de moda como la inteligencia artificial y el aprendizaje automático. En particular, y gracias a los grandes avances en topología del caos que se anuncian en esta nota, es posible también asistir a la IA en su aplicación a las ciencias del clima, garantizando que los cálculos realizados por aprendizaje automático no sean una combinación arbitraria de datos previos, sino que capten de manera fidedigna la física subyacente del sistema.

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